3.1 重力与弹力

本节学习目标

学完本节，需要能做到：

• 知道力是物体对物体的作用，分析一个力时能说清受力物体和施力物体。
• 能从大小、方向、作用点三个方面描述力，并会区分力的图示和力的示意图。
• 理解重力的产生原因、施力物体、大小、方向和作用点。
• 会用 $G=mg$ 计算物体重力，并理解 $g$ 的单位 $\text{N/kg}$ 与 ${\text{m/s}}^2$ 的等价关系。
• 理解重心的含义，会判断规则均匀物体的重心位置，会说明悬挂法确定薄板重心的原理。
• 理解形变、弹性形变、弹性限度和弹力的概念。
• 能判断常见弹力的有无和方向，包括支持力、压力、绳子拉力和弹簧弹力。
• 掌握胡克定律 $F=kx$，会根据数据或 $F-x$ 图像求弹簧劲度系数。

核心知识点讲解

一、知识对象与物理情境

自然界中的物体不是孤立存在的。一个物体的运动状态改变、形状改变，通常都来自其他物体对它的作用。在力学中，我们把物体间的相互作用抽象为“力”。

认识一个力，不能只说“有力”，而要追问四件事：

1. 谁受到这个力？
2. 谁施加这个力？
3. 这个力有多大？
4. 这个力的方向和作用点在哪里？

例如“桌面对书的支持力”，受力物体是书，施力物体是桌面，方向垂直桌面向上，作用点可画在接触处或物体受力示意图的合适位置。以后做受力分析时，每一个力都要经得起这样的追问。

二、核心概念与物理意义

1. 力的三要素与施力、受力物体

力是一个物体对另一个物体的作用。任何一个力都不能脱离物体单独存在。

描述一个力，通常要说清三要素：

要素	含义	常见表达
大小	力的强弱	$6\text{N}$、$250\text{N}$
方向	力指向哪里	竖直向下、水平向右、垂直接触面向上
作用点	力作用在物体上的位置	重心、接触点、绳端连接点

同时，还要说清受力物体和施力物体。例如“人推车的力”中，受力物体是车，施力物体是人；“车推人的力”则是另一个力，受力物体和施力物体正好交换。

2. 重力

由于地球的吸引而使物体受到的力叫作重力，通常用 $G$ 表示，单位是牛顿，符号为 $\text{N}$。

重力的特点：

项目	内容
受力物体	地球附近的物体
施力物体	地球
大小	$G=mg$
方向	竖直向下
作用点	重心

重力大小与质量的关系为：

$$G=mg$$

其中 $m$ 是物体质量，$g$ 是自由落体加速度。$g$ 的单位既可以写作 $\text{N/kg}$，也可以写作 ${\text{m/s}}^2$，并且：

$$1\text{N/kg}=1{\text{m/s}}^2$$

在计算重力时，$g$ 常取 $9.8\text{N/kg}$，粗略计算也可取 $10\text{N/kg}$。

3. 重心

物体各部分都受到重力作用。从整体效果看，可以把物体所受重力看成集中作用在一点，这一点叫作物体的重心。重心可以看作重力的作用点。

重心位置由物体形状和质量分布共同决定：

物体	重心位置
质量均匀的细直棒	棒的中点
质量均匀的球	球心
质量均匀的圆柱体	轴线中点
质量均匀的规则薄板	几何对称中心或相关对称线交点
质量分布不均匀的物体	与质量分布有关，不能只看几何形状

重心不一定在物体材料内部。均匀圆环的重心在圆心，但圆心处没有材料；某些弯曲物体的重心也可能在物体外部。

4. 力的图示与力的示意图

力可以用有向线段表示。

力的图示要求比较严格：

• 有标度，例如 $1\text{cm}$ 表示 $2\text{N}$。
• 线段长短按标度表示力的大小。
• 箭头表示力的方向。
• 箭尾或箭头所在位置表示力的作用点。

力的示意图不要求严格按标度画出大小，重点是画清作用点和方向。受力分析中常用的是力的示意图。

三、关键规律、公式与适用条件

1. 重力计算公式

$$G=mg$$

使用时注意：

• $G$ 的单位是 $\text{N}$。
• $m$ 的单位是 $\text{kg}$。
• $g$ 的单位可用 $\text{N/kg}$。
• 重力方向竖直向下，计算大小后不能漏写方向。

2. 弹力的产生条件

物体在力的作用下形状或体积发生改变，这种变化叫作形变。发生形变的物体由于要恢复原状，会对与它接触的物体产生力，这种力叫作弹力。

弹力产生需要两个条件：

1. 两个物体相互接触。
2. 接触处发生弹性形变。

只有接触不一定有弹力。如果两个物体只是接触但没有相互挤压、拉伸或支持作用，就不一定产生弹力。

3. 常见弹力方向

弹力类型	方向判断
支持力	垂直接触面，指向被支持物体
压力	垂直接触面，指向被压物体
绳子拉力	沿绳子方向，指向绳子收缩方向
弹簧弹力	沿弹簧轴线，指向恢复原状方向

判断弹力方向的核心是：发生形变的物体要恢复原状，它对接触物体施加的力就沿恢复形变的趋势方向。

4. 胡克定律

物体发生形变后，如果撤去外力能够恢复原状，这种形变叫弹性形变。若形变过大，撤去外力后不能完全恢复原状，就超过了弹性限度。

在弹性限度内，弹簧发生弹性形变时，弹力大小跟弹簧伸长或缩短的长度成正比：

$$F=kx$$

其中：

符号	物理意义	单位
$F$	弹簧弹力大小	$\text{N}$
$x$	弹簧伸长量或压缩量	$\text{m}$
$k$	弹簧劲度系数	$\text{N/m}$

劲度系数 $k$ 表示弹簧“软硬”。$k$ 越大，弹簧越硬，相同形变量产生的弹力越大。

注意：$x$ 是形变量，不是弹簧总长度。若弹簧原长为 $l_0$，形变后长度为 $l$，则：

$$x=|l-l_0|$$

四、典型模型与过程分析

1. 悬挂法确定薄板重心

不规则薄板的重心可用悬挂法确定：

1. 在薄板上一点 $A$ 悬挂薄板。
2. 薄板静止后，沿悬线方向画一条竖直线。
3. 换另一点 $D$ 悬挂，再画一条竖直线。
4. 两条竖直线的交点就是薄板重心。

原理：薄板静止时受到悬线拉力和重力两个力作用并平衡。重力的作用线必须与悬线在同一直线上，因此重心必在悬线所在竖直线上。两次悬挂得到两条重力作用线，它们的交点就是重心。

2. 微小形变模型

很多物体受力后的形变很小，肉眼难以直接观察，但形变仍然存在。可以用放大方法显示微小形变：

• 透明材料受压后，内部受力状态改变，可通过特殊光学方法显示花纹变化。
• 桌面被按压时形变极小，可用平面镜反射光点位置变化来放大观察。

这些实验说明：看似“刚硬”的桌面、玻璃等物体，在受力时也会发生微小形变；支持力、压力等弹力正是由这种形变产生的。

3. 探究弹簧弹力与形变量的关系

实验思路：测量多组弹簧弹力 $F$ 和形变量 $x$，看二者关系。

常用装置：把弹簧上端固定在铁架台横杆上，旁边放刻度尺。先记录弹簧自然下垂时下端位置，再在弹簧下端挂不同质量的钩码，记录弹簧长度。

数据处理：

• 钩码静止时，弹簧弹力大小等于钩码重力 $mg$。
• 形变量 $x$ 等于挂钩码后的长度减去原长。
• 以 $F$ 为纵轴、$x$ 为横轴描点作图。
• 若数据点接近一条过原点的直线，说明 $F$ 与 $x$ 成正比。
• $F-x$ 图像斜率就是劲度系数 $k$。

五、图像、实验与数据理解

1. $F-x$ 图像

在弹性限度内，弹簧的 $F-x$ 图像是一条过原点的直线。直线越陡，劲度系数越大，弹簧越硬。

若图像后段明显弯曲，说明弹簧可能接近或超过弹性限度，此时不能继续用 $F=kx$ 描述。

2. 力的图示读图

读力的图示时要看：

• 标度是多少。
• 有向线段长度是多少。
• 箭头方向指向哪里。
• 作用点画在哪个物体上。

例如标度为 $1\text{cm}$ 表示 $2\text{N}$，一个 $6\text{N}$ 的力应画 $3\text{cm}$ 长的有向线段。

3. 受力示意图的第一步

画受力示意图时，要先明确“研究对象”。只画研究对象受到的力，不画它对其他物体施加的力。

例如钢管一端支在光滑水平地面上，另一端被竖直绳悬挂。若研究对象是钢管，通常要画：

• 钢管受到的重力，方向竖直向下，作用于重心。
• 地面对钢管的支持力，方向竖直向上。
• 绳对钢管的拉力，方向沿绳竖直向上。

六、题型应用与迁移

本节常见题型如下：

题型	识别信号	方法
重力计算	给质量，求重力	用 $G=mg$，写明方向
重心判断	规则物体、不规则薄板、装载变化	看形状和质量分布，或用悬挂法
力的图示	给力大小、方向、标度	按标度画有向线段
弹力方向	接触面、绳、弹簧	按形变恢复方向判断
胡克定律	弹簧、伸长量、劲度系数	用 $F=kx$，注意 $x$ 是形变量
图像求 $k$	给 $F-x$ 图像或数据	斜率 $k=\Delta F/\Delta x$

重点梳理

重点 1：分析力要先找受力物体和施力物体

为什么重要：受力分析最常见错误，就是把“某物体受到的力”和“某物体施加的力”混在一起。一个力一定有受力物体和施力物体。

怎么用：每写一个力，都用“甲受到乙的某种力”来表达。例如“木块受到斜面的支持力”，不要只写“有支持力”。

重点 2：重力的四个要点

• 产生原因：地球吸引。
• 施力物体：地球。
• 大小：$G=mg$。
• 方向：竖直向下。
• 作用点：重心。

触发条件：题目问“物体受几个力”“画重力图示”“计算重力”“重心在哪里”时，都要围绕这些要点回答。

重点 3：弹力产生条件和方向

弹力必须满足“接触”和“弹性形变”两个条件。方向取决于形变恢复趋势：支持力、压力垂直接触面；绳子拉力沿绳；弹簧弹力沿弹簧轴线。

为什么重要：弹力方向是后续受力分析、平衡问题、牛顿定律问题的基础。

重点 4：胡克定律的适用边界

$$F=kx$$

这个公式只在弹性限度内成立。$x$ 是伸长量或压缩量，不是弹簧总长度。$k$ 是弹簧本身的性质，不由某一次 $F$ 或 $x$ 单独决定。

难点突破

难点 1：重力方向是不是垂直接触面向下

不是。重力方向是竖直向下，由当地重垂线方向确定。它与物体是否接触、接触面怎样倾斜无关。

放在斜面上的物体，重力仍然竖直向下；支持力才垂直斜面。

难点 2：重心一定在物体内部吗

不一定。重心是重力作用效果的等效点，不一定是物体材料实际所在的位置。均匀圆环的重心在圆心，圆心并不在圆环材料上。

所以悬挂法得到的重心在薄板外部，也可能是合理的。

难点 3：有接触就一定有弹力吗

不一定。弹力还要求接触处发生弹性形变。

例如两个球靠在一起但没有相互挤压，就不一定有弹力；放在桌面上的书与桌面相互挤压，桌面发生微小形变，书才受到支持力。

难点 4：支持力和压力是一对什么关系

支持力和压力都属于弹力，但它们通常作用在不同物体上。例如书放在桌面上：

• 桌面对书的支持力，受力物体是书。
• 书对桌面的压力，受力物体是桌面。

二者不能画在同一个受力物体图上，除非研究对象不同。

难点 5：胡克定律中的 $x$ 为什么不是总长度

弹簧弹力来自形变，形变大小是相对原长的变化量。若弹簧原长 $8\text{cm}$，挂物后总长 $11\text{cm}$，形变量是：

$$x=11\text{cm}-8\text{cm}=3\text{cm}=0.03\text{m}$$

代入 $F=kx$ 时，应使用 $0.03\text{m}$，不是 $0.11\text{m}$。

例题讲解

例题 1：计算重力并画图示长度

题目：质量为 $2.0\times 10^3\text{kg}$ 的火箭竖直向上飞行。取 $g=10\text{N/kg}$，求火箭受到的重力大小和方向。若用 $1\text{cm}$ 表示 $1.0\times 10^4\text{N}$，力的图示线段应画多长？

分析：重力大小用 $G=mg$，方向竖直向下。图示长度由力的大小除以标度。

步骤：

$$G=mg=2.0\times 10^3\times 10=2.0\times 10^4\text{N}$$

图示线段长度：

$$L=\frac{2.0\times 10^4\text{N}}{1.0\times 10^4\text{N/cm}}=2.0\text{cm}$$

答案：火箭受到的重力为 $2.0\times 10^4\text{N}$，方向竖直向下；按给定标度应画 $2.0\text{cm}$ 长的有向线段，箭头竖直向下。

反思：物体向上运动时，重力方向仍然竖直向下，不随运动方向改变。

例题 2：判断斜面支持力方向

题目：物体静止在斜面上。斜面对物体的支持力方向如何？重力方向如何？

分析：支持力属于弹力，方向垂直接触面并指向被支持物体；重力由地球施加，方向竖直向下。

答案：斜面对物体的支持力方向垂直斜面向外；物体受到的重力方向竖直向下。

反思：支持力方向和重力方向一般不相同。不要把重力误画成垂直斜面向下。

例题 3：胡克定律计算弹力

题目：弹簧原长 $8.0\text{cm}$，挂上物体后长 $11.0\text{cm}$。弹簧劲度系数为 $100\text{N/m}$，求弹簧弹力大小。

分析：先求形变量，再代入 $F=kx$。

步骤：

$$x=11.0\text{cm}-8.0\text{cm}=3.0\text{cm}=0.030\text{m}$$ $$F=kx=100\times 0.030=3.0\text{N}$$

答案：弹簧弹力大小为 $3.0\text{N}$。

反思：$x$ 是伸长量，不是挂物后的总长度。

例题 4：由悬挂钩码求弹簧劲度系数

题目：某弹簧下挂 $0.20\text{kg}$ 钩码时伸长 $4.0\text{cm}$。取 $g=10\text{N/kg}$，求弹簧劲度系数。

分析：钩码静止时，弹簧弹力大小等于钩码重力。

步骤：

$$F=G=mg=0.20\times 10=2.0\text{N}$$ $$x=4.0\text{cm}=0.040\text{m}$$ $$k=\frac{F}{x}=\frac{2.0}{0.040}=50\text{N/m}$$

答案：弹簧劲度系数为 $50\text{N/m}$。

反思：用钩码实验求 $k$ 时，要先把质量换成重力，再用重力等于弹簧弹力。

例题 5：钢管受力示意图

题目：质量均匀的钢管，一端支在光滑水平地面上，另一端被竖直绳悬挂着。钢管受到几个力？各力的施力物体是什么？

分析：研究对象是钢管。按重力、接触弹力、绳子拉力逐一找。

答案：钢管受到三个力：

• 重力 $G$，施力物体是地球，方向竖直向下，作用点在钢管重心。
• 地面对钢管的支持力，施力物体是地面，方向竖直向上。
• 绳对钢管的拉力，施力物体是绳，方向沿绳竖直向上。

反思：钢管对地面的压力、钢管对绳的拉力是钢管施加给其他物体的力，不画在钢管受力示意图中。

易错点整理

易错点 1：把质量当成重力

常见错误表现：说“物体重力是 $5\text{kg}$”。

错因分析：质量和重力是不同物理量。质量单位是 $\text{kg}$，重力单位是 $\text{N}$。

正确处理：用 $G=mg$ 把质量换算为重力，结果单位写 $\text{N}$。

易错点 2：认为重力没有施力物体

常见错误表现：说“物体本身就有重力，所以重力没有施力物体”。

错因分析：力是物体对物体的作用，任何力都有施力物体。

正确处理：重力的施力物体是地球，受力物体是地球附近的物体。

易错点 3：把重力方向画成垂直接触面向下

常见错误表现：斜面上物体的重力被画成垂直斜面向下。

错因分析：混淆了重力和压力、支持力。

正确处理：重力始终竖直向下；压力、支持力才与接触面垂直。

易错点 4：有接触就判断有弹力

常见错误表现：两个物体只要接触，就认为一定有弹力。

错因分析：忽略了弹性形变条件。

正确处理：判断是否相互挤压、拉伸或支撑，是否存在恢复形变的趋势。

易错点 5：胡克定律中把总长度当形变量

常见错误表现：弹簧原长 $6\text{cm}$，现长 $9\text{cm}$，把 $x=9\text{cm}$ 代入。

错因分析：没有理解弹力来自形变。

正确处理：$x=9\text{cm}-6\text{cm}=3\text{cm}=0.03\text{m}$。

易错点 6：力的图示没有标度

常见错误表现：画一根箭头就称为力的图示。

错因分析：混淆了力的图示和力的示意图。

正确处理：力的图示要有标度，并按标度画长度；没有标度通常只能称为力的示意图。

考点考证点整理

考点一：力的基本认识

• 出题思路：要求指出某个力的受力物体、施力物体、大小、方向和作用点。
• 关键条件：题干中的“甲对乙的力”必须拆清甲和乙。
• 解答要点：用“乙受到甲施加的某力”表达，不把作用力和反作用力混为一个力。
• 易扣分点：漏写施力物体；把受力物体写反。

考点二：重力与重心

• 出题思路：计算重力、画重力示意图、判断重心位置、解释重心随质量分布改变。
• 关键条件：质量、$g$ 取值、物体是否均匀、形状是否规则。
• 解答要点：$G=mg$，方向竖直向下，作用点在重心；规则均匀物体按几何对称判断重心。
• 易扣分点：质量单位与重力单位混淆；把重力方向写成垂直接触面。

考点三：悬挂法确定重心

• 出题思路：给出不规则薄板或三角形薄板，要求说明怎样确定重心。
• 关键条件：薄板静止时受拉力和重力平衡，重心在悬线竖直线上。
• 解答要点：至少两次悬挂，画两条竖直线，交点为重心。
• 易扣分点：只说“找交点”而不说明为什么重心在悬线方向上。

考点四：弹力有无和方向

• 出题思路：判断接触面、绳、弹簧、斜面对物体是否有弹力及方向。
• 关键条件：是否接触；是否发生弹性形变；接触面或绳、弹簧的方向。
• 解答要点：支持力、压力垂直接触面；绳拉力沿绳且指向收缩方向；弹簧弹力沿弹簧轴线。
• 易扣分点：认为接触必有弹力；把绳子拉力画成推力方向。

考点五：胡克定律与 $F-x$ 图像

• 出题思路：由弹簧伸长量求弹力，由钩码数据求劲度系数，由 $F-x$ 图像斜率求 $k$。
• 关键条件：弹性限度内；$x$ 是形变量；单位换算为米。
• 解答要点：写 $F=kx$ 或 $k=F/x$；图像斜率表示劲度系数。
• 易扣分点：把总长度当 $x$；厘米未换成米；超过弹性限度仍用胡克定律。

练习题

基础训练

1. 力是一个物体对另一个物体的作用。分析一个力时，至少要说清哪两个物体？
2. 质量为 $5.0\text{kg}$ 的物体，取 $g=10\text{N/kg}$，重力大小是多少？方向如何？
3. 重力的施力物体是谁？重力的作用点通常看作哪里？
4. 弹力产生需要哪两个条件？
5. 胡克定律的表达式是什么？其中 $x$ 表示什么？

巩固训练

6. 弹簧原长 $8.0\text{cm}$，挂上物体后长 $11.0\text{cm}$，劲度系数 $100\text{N/m}$，求弹簧弹力。
7. 弹簧伸长 $0.060\text{m}$ 时弹力为 $3.0\text{N}$，求劲度系数。
8. 物体静止在斜面上，斜面对物体的支持力方向如何？物体受到的重力方向如何？
9. 为什么悬挂法能确定不规则薄板重心？
10. 判断并说明理由：两个物体只要相互接触，就一定存在弹力。

提升训练

11. 某弹簧下挂 $0.20\text{kg}$ 钩码时伸长 $4.0\text{cm}$，取 $g=10\text{N/kg}$。求弹簧劲度系数。
12. 要画一个大小为 $6\text{N}$、方向竖直向下的重力图示，若选 $1\text{cm}$ 表示 $2\text{N}$，线段应画多长？
13. 一个不规则薄板用悬挂法画出两条竖直线，交点在薄板外部。这可能是重心吗？说明理由。
14. 竖直悬挂弹簧的原长为 $6.0\text{cm}$。实验数据如下表，取 $g=10\text{N/kg}$。根据数据估算弹簧劲度系数。

钩码质量 $m/\text{g}$	0	30	60	90	120	150
弹簧总长度 $l/\text{cm}$	6.0	7.2	8.3	9.5	10.6	11.8

15. 质量均匀的钢管，一端支在光滑水平地面上，另一端被竖直绳悬挂着。钢管受到几个力？各力的施力物体是什么？画受力示意图时应注意什么？

练习题答案

基础训练答案

1. 至少要说清受力物体和施力物体。力不能脱离物体单独存在。

2. 由 $G=mg$：

$$G=5.0\times 10=50\text{N}$$

重力大小为 $50\text{N}$，方向竖直向下。

3. 重力的施力物体是地球；重力的作用点通常看作物体的重心。

4. 弹力产生需要两个条件：两个物体相互接触；接触处发生弹性形变。

5. 胡克定律为：

$$F=kx$$

其中 $x$ 表示弹簧的伸长量或压缩量，即相对原长的形变量。

巩固训练答案

6. 形变量：

$$x=11.0\text{cm}-8.0\text{cm}=3.0\text{cm}=0.030\text{m}$$

弹力：

$$F=kx=100\times 0.030=3.0\text{N}$$

7. 由 $F=kx$ 得：

$$k=\frac{F}{x}=\frac{3.0}{0.060}=50\text{N/m}$$

8. 斜面对物体的支持力垂直斜面向外；物体受到的重力竖直向下。

9. 薄板静止悬挂时，悬线拉力和重力平衡，重力作用线必定与悬线在同一直线上，所以重心一定在悬线所在竖直线上。换另一个悬点再画一条竖直线，两条线的交点就是重心。

10. 不对。弹力不仅要求接触，还要求接触处发生弹性形变。若只是接触但没有相互挤压或拉伸，不一定有弹力。

提升训练答案

11. 钩码重力：

$$G=mg=0.20\times 10=2.0\text{N}$$

钩码静止时弹簧弹力大小等于钩码重力，形变量 $x=4.0\text{cm}=0.040\text{m}$。

$$k=\frac{F}{x}=\frac{2.0}{0.040}=50\text{N/m}$$

12. 图示线段长度为：

$$L=\frac{6\text{N}}{2\text{N/cm}}=3\text{cm}$$

应画 $3\text{cm}$ 长、方向竖直向下的有向线段，并标明标度。

13. 可能。重心是重力作用效果的等效点，不一定在物体材料内部。若两条悬线方向的竖直线交在薄板外部，这个交点也可能是薄板的重心。

14. 原长为 $6.0\text{cm}$。取最后一组数据估算：

$$x=11.8\text{cm}-6.0\text{cm}=5.8\text{cm}=0.058\text{m}$$

钩码质量 $m=150\text{g}=0.150\text{kg}$，弹力大小等于钩码重力：

$$F=mg=0.150\times 10=1.50\text{N}$$ $$k=\frac{F}{x}=\frac{1.50}{0.058}\approx 25.9\text{N/m}$$

用其他数据点或作 $F-x$ 图像取斜率，结果约为 $25\text{N/m}$ 到 $26\text{N/m}$。实验数据有读数误差，通常以图像斜率为更可靠估计。

15. 钢管受到三个力：地球对钢管的重力、地面对钢管的支持力、绳对钢管的拉力。画受力示意图时，只画钢管受到的力，不画钢管对地面或绳施加的力；重力画在重心处竖直向下，支持力竖直向上，绳的拉力沿绳竖直向上。