2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
本节学习目标
学完本节，需要能做到：
- 理解 图像与时间轴围成的有向面积表示位移。
- 会由梯形面积推出匀变速直线运动的位移与时间关系式 。
- 知道初速度为 时，位移公式可化为 。
- 掌握匀变速直线运动的平均速度关系 。
- 会联立速度公式和位移公式，使用速度与位移关系式 。
- 能根据题目是否涉及时间，选择合适的运动学公式。
- 能建立一维坐标系，正确处理位移、速度、加速度的正负号。
- 会分析起飞、降落、列车进站、刹车痕迹、返回舱减速等典型问题。
核心知识点讲解
一、知识对象与物理情境
上一节已经能用 描述匀变速直线运动的速度怎样随时间变化。本节继续解决另一个核心问题：在一段时间内，物体发生了多大的位移？
匀速直线运动中，位移很容易计算：
在 图像中，这正好是一个矩形面积。匀变速直线运动的速度在变，不能简单用某一个瞬时速度乘以全过程时间，但仍然可以借助 图像求位移。
本节的学习主线是：
- 从匀速运动的矩形面积理解图像面积与位移的关系。
- 把匀变速运动的 图像看成梯形，推出位移公式。
- 在不涉及时间的问题中，消去 ，得到速度与位移关系式。
- 在实际题目中按已知量选公式，并始终处理好方向和正负号。
二、核心概念与物理意义
1. 图像面积表示位移
在 图像中，横轴是时间 ，纵轴是速度 。若在很短时间 内速度近似不变，则这一小段位移近似为：
这正是图像中一个窄矩形的面积。把许多小矩形面积相加，就能得到全过程位移。时间分得越细，近似越精确。
对于匀变速直线运动， 图像是一条直线，图线与时间轴围成的图形通常是梯形，其有向面积就表示位移。
2. 位移与位置的区别
若计时开始时物体在坐标原点，则 时刻的位置坐标可以直接等于位移 。如果计时开始时物体不在坐标原点，而在位置 ，则 时刻的位置坐标与初位置的差才是位移：
在高中常见题中，如果没有特别说明，常把计时起点位置取为坐标原点，直接写位移为 。
三、关键规律、公式与适用条件
1. 平均速度形式的位移公式
匀变速直线运动的 图像为直线，图像下方面积是梯形面积。若初速度为 ，末速度为 ，时间为 ，则位移为：
这也说明匀变速直线运动某段时间内的平均速度为：
适用条件：这一平均速度公式只适用于匀变速直线运动，不能随便用于任意变速运动。
2. 位移与时间关系式
由上一节速度公式：
代入 ：
整理得：
各量含义如下：
| 符号 | 物理意义 | 单位 | 方向属性 |
|---|---|---|---|
| 位移 | 矢量，一维中带正负号 | ||
| 初速度 | 矢量，带正负号 | ||
| 加速度 | 矢量，带正负号 | ||
| 运动时间 | 标量，通常为正 |
公式中 表示若物体一直以初速度匀速运动会产生的位移， 表示加速度带来的位移修正。
若初速度为 ，则：
此时位移与时间的平方成正比：时间变为原来的 倍，位移变为原来的 倍。
3. 速度与位移关系式
有些问题没有时间信息，例如“已知速度变化和位移，求加速度”“已知刹车距离和加速度，求初速度”。这时可以消去时间。
由：
和：
联立消去 ，得到：
这个公式的特点是“不含时间”。当题目中已知量和未知量都不涉及 时，它往往最简便。
四、典型模型与过程分析
1. 公式选择模型
匀变速直线运动常用五个物理量：、、、、。每个核心公式都少一个量：
| 公式 | 不含哪个量 | 适合情境 |
|---|---|---|
| 不含 | 求速度、时间、加速度，位移无关 | |
| 不含 | 已知初速度、加速度、时间求位移 | |
| 不含 | 已知初末速度和时间求位移 | |
| 不含 | 刹车距离、进站距离、速度与位移互求 |
选公式时先列已知量和未知量，再选择“不含无关量”的公式，不要凭题型硬套。
2. 多过程模型
航母舰载机起飞、飞机着舰、动车进站、汽车刹车常常不是一个单一过程，而是分成几个匀变速过程。
分析多过程问题时：
- 按运动状态变化分段。
- 每段分别确定 、、、、。
- 注意前一段末速度通常是后一段初速度。
- 每段都要建立统一正方向，带符号列式。
五、图像、实验与数据理解
1. 梯形面积法
匀变速直线运动的 图像为斜直线，图线与时间轴围成梯形。梯形的两条平行边分别对应 和 ，高对应时间 ，所以：
如果图线在时间轴上方，面积表示正位移；如果图线在时间轴下方，面积表示负位移；如果图线穿过时间轴，要分段计算正负面积。
2. 小矩形逼近法
把整个运动时间分成许多小段，每小段内速度近似不变，小段位移可用小矩形面积近似表示。小段越多、每段越窄，矩形面积之和越接近真实位移。对匀变速直线运动，极限结果就是梯形面积。
这种方法不只适用于匀变速直线运动。原则上，只要有 图像，图线与时间轴围成的有向面积都能表示位移。只是匀变速直线运动的图形面积能用简单梯形公式直接计算。
六、题型应用与迁移
本节题型可以按“是否涉及时间”和“是否分段”来分类：
| 题型 | 识别信号 | 推荐方法 |
|---|---|---|
| 已知时间求位移 | 给 、、 | 用 |
| 已知初末速度和时间 | 给 、、 | 用 |
| 不涉及时间 | 给速度、加速度、位移 | 用 |
| 刹车/停止 | 末速度为 | 先判断停止时间或用速度位移式 |
| 多过程运动 | 加速度、速度或运动阶段改变 | 分段列式，速度衔接 |
重点梳理
重点 1： 图像面积表示位移
为什么重要：这是位移公式的根源，也是处理复杂速度图像的通用方法。即使不能写出公式，也可以用图像面积求位移。
怎么用：
- 速度为正，面积为正位移。
- 速度为负，面积为负位移。
- 图像跨过时间轴，分成正负面积分别计算。
- 匀变速图像为直线，面积通常是矩形、三角形或梯形。
重点 2：位移与时间关系式
为什么重要：它直接回答“经过一段时间走了多远”这类问题。
使用条件：匀变速直线运动；同一正方向下带符号代入 、、。
常见触发条件：题目给出初速度、加速度、运动时间，要求位移或位置变化。
重点 3：速度与位移关系式
为什么重要：它消去了时间，适合没有时间或不需要时间的问题。
常见触发条件：刹车痕迹长度、动车经过若干里程碑、已知位移和速度变化、求加速度或初速度。
易错提醒：虽然 、 被平方，但 和 仍然要带正负号。
重点 4：公式选择比公式记忆更重要
把题目中的物理量先列出来：
- 有 且求 ，优先考虑位移时间公式。
- 无 ，优先考虑速度位移公式。
- 有 、、，优先用平均速度公式求位移。
- 多过程问题，先分段再选公式。
难点突破
难点 1：为什么变速运动也能用图像面积求位移
变速运动中，速度时时在变，但如果把时间分得足够短，每一小段内速度变化就很小，可以近似看作匀速。每一小段位移近似等于小矩形面积，所有小矩形面积之和就是总位移。
这是一种重要物理思想：把复杂变化过程分割成许多近似简单的小过程，再求和。分割越细，结果越接近真实值。
难点 2：位移公式里的 从哪里来
匀变速直线运动中，速度从 均匀变化到 ，平均速度为：
所以：
再把 代入，就得到：
因此 本质上来自“匀变速过程中的平均速度”。
难点 3：速度位移公式中符号为什么容易错
公式 中，速度平方会让速度方向信息部分丢失，但右边的 和 仍然必须反映方向。
例如刹车时取运动方向为正：
- 。
- 。
- 。
- 刹车位移沿运动方向，。
此时左边 ，右边 ，符号一致。
难点 4：刹车问题为什么要先判断停止
刹车公式只描述汽车从开始刹车到停止前的运动。若汽车在 时已经停下，题目问 内的位移，实际运动时间只能取 。停下后的 不再增加位移。
可先用速度公式求停止时间，也可直接用 求刹车距离。
难点 5：位移和路程不要混淆
匀变速直线运动公式中的 是位移，不是路程。若物体一直沿同一方向运动，位移大小等于路程；若物体中途反向，路程要分段求各段位移大小再相加，不能直接用总位移代替。
例题讲解
例题 1：舰载机起飞滑行距离
题目：某舰载机起飞时，先由弹射装置获得 的速度，随后由发动机提供 的加速度，在航母跑道上匀加速前进 后离舰升空。求飞机匀加速滑行的距离。
读题：研究对象是飞机，研究过程是获得初速度后的匀加速滑行。
选对象与过程：飞机做匀加速直线运动，已知 、、，求 。
建模型：用位移与时间关系式：
列方程与计算：
答案：飞机匀加速滑行的距离为 。
检查：若忽略初速度只算 ，会少算 ，所以初速度不为 时不能乱用简化式。
例题 2：飞机着舰阻拦过程
题目：飞机着舰时速度为 ，钩住阻拦索后经过 停下来。把这段运动看成匀减速直线运动，求加速度大小和滑行距离。
读题：研究对象是飞机，研究过程是从着舰到停止。
选对象与过程：取飞机滑行方向为正方向，，，。
建模型：先用 求加速度，再用平均速度公式或位移时间公式求位移。
列方程与计算：
加速度大小为 ，方向与滑行方向相反。
位移：
答案：加速度大小为 ，滑行距离为 。
检查：平均速度为 ，运动 ，位移 ，合理。
例题 3：动车进站加速度与剩余距离
题目：动车经过某一里程碑时速度为 ，又前进 后速度变为 。把动车进站过程看作匀减速直线运动，求动车进站的加速度；若之后继续以同一加速度减速，还要行驶多远才能停下来？
读题：题目不涉及时间，适合用速度与位移关系式。
选对象与过程：取动车运动方向为正方向。前一过程位移 。
速度换算：
建模型：用 。
列方程与计算：前一过程：
后一过程从 减速到 ：
答案：动车进站的加速度大小约为 ，方向与运动方向相反；还要行驶约 才能停下来。
检查：加速度为负说明减速；剩余距离为正，说明动车仍沿原方向前进。
例题 4：刹车痕迹反推初速度
题目：一辆汽车紧急刹车后停下，路面车轮滑动磨痕长度为 。已知车轮滑动时汽车做匀减速直线运动，加速度大小为 。求汽车刚开始刹车时的速度。
读题：已知刹车距离和加速度，求初速度，不涉及时间。
选对象与过程：取汽车原运动方向为正方向，，，末速度 。
建模型：用 。
列方程与计算：
答案：汽车刚开始刹车时的速度为 ，约为 。
检查：速度为正，方向沿原运动方向；数量级符合普通汽车行驶速度。
易错点整理
易错点 1：初速度不为 时乱用
常见错误表现：看到匀加速就直接写 。
错因分析：这个简化式只适用于 的情况。若初速度不为 ，还要加上 。
正确处理：先判断初速度是否为 。一般情况用 。
易错点 2：把 图像面积当成路程
常见错误表现：图线有一部分在时间轴下方时，把正负面积直接按正面积相加或全部当作路程。
错因分析： 图像的有向面积表示位移，时间轴下方的面积表示负位移。
正确处理：求位移时按正负面积代数相加；求路程时分段取面积绝对值再相加。
易错点 3：速度位移公式中忽略 和 的符号
常见错误表现：刹车题中把 直接代入正值，导致算出负位移或无意义结果。
错因分析：加速度大小没有方向，公式中的 是矢量在坐标轴上的分量。
正确处理：先规定正方向，刹车时若取运动方向为正，则 ，刹车位移 。
易错点 4：刹车后继续按原公式运动
常见错误表现：汽车已经停止，还继续用匀减速公式算出反向位移。
错因分析：普通刹车模型只描述停止前的过程，停止后不再保持原加速度反向运动。
正确处理：先求停止时间或刹车距离；题目给出时间超过停止时间时，实际位移只算到停止时刻。
易错点 5：多过程问题不分段
常见错误表现：把两段加速度不同的运动合在一个公式中处理。
错因分析：匀变速公式要求加速度恒定。加速度改变时，已经不是同一个匀变速过程。
正确处理：按加速度、速度状态或运动条件改变的位置分段，每段单独列式，再用末速度和初速度衔接。
考点考证点整理
考点一：位移与时间关系式
- 出题思路：给出 、、，求位移；或给出位移、时间、初速度，反求加速度。
- 关键条件：运动是匀变速直线运动，初速度是否为 。
- 解答要点：写出 ，统一单位，带符号代入。
- 易扣分点：漏掉 ；把加速度大小当作有方向的 ；单位不统一。
考点二： 图像面积求位移
- 出题思路：给出 图像，要求求某段位移、比较位移大小或判断位移正负。
- 关键条件：图线位置在时间轴上方还是下方；图形是矩形、三角形、梯形还是组合图形。
- 解答要点：把图形面积转化为位移，必要时分段计算有向面积。
- 易扣分点：把面积误认为加速度；忽略时间轴下方对应负位移。
考点三：速度与位移关系式
- 出题思路：不提供时间，要求由速度变化和位移求加速度、由刹车距离求初速度、由加速度和位移求末速度。
- 关键条件：题目中没有时间或时间不是目标量。
- 解答要点：用 ，先规定正方向，再判断 、 的符号。
- 易扣分点：速度单位未换算；忽略加速度方向；平方后丢失方向判断。
考点四：刹车与停止问题
- 出题思路：给出初速度和减速度，求停止时间、刹车距离、某段时间内位移，或由磨痕反推速度。
- 关键条件：末速度为 ；题目给出的时间是否超过停止时间。
- 解答要点：先求 或直接用 求刹车距离。
- 易扣分点：停止后继续套公式；把加速度大小代成正值。
考点五：分段匀变速运动
- 出题思路：航母起飞、列车进站、返回舱减速等情境中，运动分成多个阶段。
- 关键条件：每段加速度、位移、速度状态是否不同；前后过程速度是否衔接。
- 解答要点：画过程草图，分段列式，前一段末速度作为后一段初速度。
- 易扣分点：把不同加速度阶段合并；忘记换算 与 ；漏掉方向说明。
练习题
基础训练
- 写出匀变速直线运动的位移与时间关系式，并说明各物理量的单位。
- 初速度为 时，位移与时间关系式怎样简化？位移与时间有什么比例关系？
- 写出速度与位移关系式，并说明它适合什么类型的问题。
- 在 图像中，图线与时间轴围成的面积表示什么？图线在时间轴下方时面积的符号怎样理解？
- 匀变速直线运动中，为什么 ？这个公式能否用于任意变速运动？
巩固训练
- 以 的速度行驶的列车开始下坡，在坡路上的加速度为 ，经过 到达坡底。求坡路长度和列车到达坡底时的速度。
- 以 的速度行驶的汽车，制动后做匀减速直线运动，在 内前进 。求汽车的加速度，并求制动后 内发生的位移。
- 两个物体在相同时间内从静止开始做匀加速直线运动，位移之比为 。求它们的加速度之比。
- 某物体初速度为 ，末速度为 ，运动时间为 。求这段位移。
- 某物体速度由 减小到 ，位移为 。求加速度。
提升训练
- 某飞机滑跃式起飞过程可看作两段连续匀加速直线运动：前一段加速度为 ，位移为 ；后一段加速度为 ，位移为 。若飞机从静止开始运动，求飞机离舰时的速度。
- 返回舱距地面 时启动降落伞装置，速度减至 ，随后以这个速度匀速下降。在距地面 时，缓冲发动机开始向下喷气，舱体再次减速。设最后 内返回舱做匀减速直线运动，到达地面时速度恰好为 。求最后减速阶段的加速度。
- 一辆汽车紧急刹车后停下，路面留下 的车轮滑动磨痕。已知车轮滑动时汽车的加速度大小为 ，求汽车刚开始刹车时的速度。
- 汽车以 行驶，刹车加速度为 。分别求刹车后 内和 内的位移。
- 某 图像可描述为： 到 内，物体速度由 均匀增大到 。用图像面积法求这段时间内的位移。
练习题答案
基础训练答案
- 位移与时间关系式为：
其中 的单位为 ， 的单位为 ， 的单位为 ， 的单位为 。、、 都要按规定正方向带符号代入。
- 初速度为 时，，位移公式变为：
若加速度恒定，位移与时间的平方成正比。
- 速度与位移关系式为：
它适合不涉及时间的问题，如刹车距离、进站加速度、由位移和加速度求末速度等。
-
图像与时间轴围成的有向面积表示位移。图线在时间轴上方时面积为正位移；图线在时间轴下方时面积为负位移。
-
匀变速直线运动中，速度从 均匀变化到 ，所以平均速度等于初末速度的平均值：
这个公式只适用于匀变速直线运动，不能用于任意变速运动。
巩固训练答案
- 先换单位：
坡路长度：
坡底速度：
列车通过坡路长度为 ，到达坡底时速度为 。
- 取汽车初速度方向为正方向，，，。
由：
得：
停止时间：
制动后 时汽车已经停止，所以位移只算到 ：
汽车加速度为 ，制动后 内位移为 。
- 从静止开始匀加速，位移公式为：
两个物体运动时间相同，所以位移与加速度成正比：
因此：
- 已知初末速度和时间，用平均速度公式：
- 用速度与位移关系式：
加速度为 ，方向与初速度方向相反。
提升训练答案
- 第一段从静止开始：
第二段：
所以：
飞机离舰时的速度约为 。
- 取向下为正方向，最后减速阶段初速度 ，末速度 ，位移 。
由：
得：
加速度大小约为 ，方向竖直向上。
- 取汽车原运动方向为正方向，末速度 ，加速度 ，位移 。
汽车刚开始刹车时速度为 ，约为 。
- 先求停止时间：
刹车后 内，汽车还未停止：
刹车后 内，汽车已在 时停止，实际位移为刹车距离：
- 图像下方面积是梯形面积：
这段时间内位移为 。